Menu Contextuel
Espace e-NewSeurs Nom d'utilisateur Mot de passe S'inscrire
Mot de passe perdu ?
Accueil
1ère normale primaire
2e normale primaire
3e normale primaire
Photos
Recherche de documents
Plan
Charles Buls > 2NPRI - Math - Géométrie > Résumé figures planes
Résumé figures planes

Figures planes

 

Convexité

Une figure plane fermée est convexe ssi elle délimite une partie convexe du plan.

Une partie du plan c est convexe ssi tout segment dont les extrémités appartiennent à c est entièrement inclus à c, sinon elle est concave.

 

Cercle-disque

 

Le cercle est l’ensemble des points équidistants d’un point fixe. Ce point fixe s’appelle le centre du cercle, la distance du centre à chaque point s’appelle le rayon du cercle.

La surface intérieure d’un cercle s’appelle disque. C’est l’ensemble des points du plan dont la distance au centre est <= au rayon R.

Un arc de cercle est une partie continue du cercle.

Un segment dont les extrémités sont des points du cercle s’appelle une corde.

Lorqu’un arc et une corde ont les mêmes extrémités, on dit que la corde sous-tend l’arc.

Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. Un diamètre sous-tend un demi-cercle. Sa longueur est le double du rayon.

Des points diamétralement opposés sont des extrémités d’un diamètre.

 

Angle au centre : angle qui a son sommet au centre du disque

Secteur circulaire : portion du disque limitée par un arc et les rayons qui aboutissent à ses extrémités.

Couronne circulaire de centre o et de rayons R et r (R>r) : ensemble des points situés à une distance comprise entre r et R du centre.

 

La tangente à un cercle de centre c en un point m est la droite perpendiculaire à |cm| par m.

On appelle angle au centre tout angle dont le sommet est le centre du cercle.

On appelle angle inscrit au cercle tout angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle.

Propriétés

Si un angle inscrit abc intercepte le même arc qu’un angle au centre aôc, alors abc=1/2 aôc.

Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils sont égaux

Si |ab| est un diamètre d’un cercle eet c un point de ce cercle, alors abc est un triangle rectangle en c.

 

Polygones

 

Une ligne brisée est formée de segments de droites mis bout à bout, deux segments consécutifs n’étant pas alignés.

Un polygone est une ligne brisée fermée.

Les segments composant la ligne brisée s’appellent côtés du polygone, leurs extrémités s’appellent sommets.

Un polygone (fini plan) est une figure plane contenant un ensemble de n points distincts

(n € N et n >= 3) numérotés cycliquements et tels que 3 points consécutifs sont non alignés.

Ces points sont appelés « sommets ».

Tous les segments de droite déterminés par les paires de points consécutifs sont appelés « côtés ».

 

 

Un polygone est constitué de sommets et d’arêtes tels que

-         les sommets forment une suite ordonnée de points du plan en nombre fini

-         les arêtes sont les segments formés par deux sommets consécutifs.

-         Trois sommets consécutifs ne sont jamais alignés (colinéaires)

-         Tout sommet est incident à deux arêtes (tout sommet est l’intersection de deux arêtes)

-         Deux sommets quelconques sont toujours reliés par une sucession fini de sommets et d’arêtes.

Un polygone est convexe si le prolongement de tout côté le laisse tout entier dans une même région du plan.

Un polygone est convexe si tout segment joignant deux points du polygone est situé à l’intérieur de celui-ci.

Sommets du polygone : les points

Côtés du polygone : les segments (ouverts ou fermés) déterminés par les paires de points consécutifs.

Diagonales du polygone : les segments (ouverts ou fermés) déterminés par les paires de points non consécutifs.

Angles intérieurs d’un polygone : les angles formés par 2 côtés consécutifs du polygone.

Angles extérieurs d’un polygone : les angles formés par un côté du polygone et le prolongement du côté suivant.

Un polygone est caractérisé par le nombre de ses sommets égal au nombre de ses côtés et de ses angles. Le nombre d’angles intérieurs d’une part et extérieurs d’autre part étant le même.

Polygone est concave ou convexe.

Autres critères

  1. Un polygone est convexe s’il est situé entièrement dans un seul des demi-plans déterminé par chacun de ses côtés.
  2. Un polygone est convexe s’il contient toutes ses diagonales.

Un angle intérieur et angle extérieur correspondant d’un polygone convexe sont supplémentaires.

La somme des angles extérieurs d’un polygone convexe vaut 360°.

La somme des angles intérieurs d’un n-gone convexe vaut (n-2) x 180°.

Cas particuliers :

-         la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

-         La somme des angles d’un quadrilatère convexe vaut 360°.

 

Polygones réguliers

 

Un polygone plan fini convexe est régulier ssi tous ses côtés sont isométriques et tous ses angles ont même amplitude.

 

Polygone étoilé : polygone fini concave à condition de différencier l’amplitude d’un angle saillant du polygone de celle d’un angle rentrant.

 

Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle.

Le rayon R du polygone régulier est le rayon du cerlce circonscrit au polygone, ou encore la distance entre le centre et un des sommets du polygone régulier.


Triangles

 

Triangle : tout polygone ayant 3 sommets, 3 côtés et 3 angles (intérieurs).

Un sommet et un côté sont opposés ssi le sommet n’est pas une extrémité du segment.

Un sommet et un côté sont adjacents ssi le sommet est une extrémité du segment.

Un triangle dont tous les côtés sont inégaux est appelé scalène.

Un triangle est isocèle dès qu’il a deux côtés (ou deux angles) égaux.

Un triangle équilatéral est un triangle (isocèle) dont les 3 côtés ont la même longueur.

Un triangle dont un angle est droit est appelé rectangle.

Un triangle dont un angle est obtus est appelé obtusangle.

Classification des triangles

-         Critères utilisés : côtés (existence d’isométries) ou angles ( comparaison à l’angle droit)

-         Réalisation d’un classement selon les côtés

-         Réalisation d’un classement selon les angles

-         Tableau à double entrée correct

  1. Partition selon la longueur des côtés

Ce critère conduit à obtenir 2 classes : la classe des triangles scalènes et la classe des triangles isocèles.

  1. Partition selon l’amplitude des angles.

Ce critère conduit à obtenir 3 classes

  1. Classe des triangles acutangles
  2. Classe des triangles rectangles
  3. Classe des triangles obtusangles

Inégalité triangulaire

-         la somme des mesures de deux côtés d’un triangle doit toujours être strictement supérieure à la mesure du troisième

-         Dans un triangle, tout côté a une longueur strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Propriété selon l’amplitude des angles

- la somme des angles d’un triangle vaut 180°

 

Triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le carré de (la longueur de) l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des (longueurs) des autres côtés.

Vérification : en mesurant ou par découpages

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle possède un angle droit.

 

Sommet principal : sommet commun à deux côtés de même longueur et base le côté opposé à ce sommet.

Propriétés suivantes se démontrent avec un gabarit ;

  1. Un triangle isocèle admet un axe de symétrie.

Réciproquement, tout triangle qui admet un axe de symétrie est isocèle.

  1. Les deux angles à la base ont même amplitude

Triangles équilatéraux

 

  1. Un triangle équilatéral admet 3 axes de symétrie
  2. Les trois angles d’un triangle équilatéral ont chacun une amplitude de 60°.
  3. Le triangle équilatéral est un polygone régulier.

 

Droites remarquables

Les médiatrices : On appelle médiatrice d’un triangle toute droite ( ou segment de celle-ci intérieur au triangle) médiatrice d’un de ses côtés.

 

1. Tout triangle admet trois médiatrices.

 

2. Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

La démonstration consiste à montrer que le point d’intersection de 2 médiatrices étant équidistant des 3 sommets, il appartient à la 3e médiatrice et donc est le centre d’un cercle qui passe par les 3 sommets.

  1. Le centre du cercle circonscrit à un triangle acutangle est à l’intérieur du triangle.
  2. Le centre du cercle circonscrit à un triangle obtusangle est à l’extérieur du triangle.
  3. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse.

Conséquence : dans tout triangle rectangle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit au triangle.

Réciproquement : si dans un triangle (abc), le sommet a appartient au cercle de diamètre [a,b] alors ce triangle est rectangle en a.( ou â = 90°).

 

Les bissectrices : on appelle bissectrice d’un triangle toute droite (ou segment de celle-ci intérieur au triangle) bissectrice d’un des angles de ce triangle.

  1. Il y a trois bissectrices dans un triangle.
  2. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.

La démonstration consiste à montrer que l’intersection de 2 bissectrices étant équidistante des 3 côtés du triangle, elle appartient à la 3e bissectrice et est donc aussi au centre du cerlce inscrit à ce triangle.

 

Les médianes : on appelle médiane d’un triangle toute droite ( ou segment de celle-ci intérieur au triangle) passant par un des sommets de ce triangle et par le milieu du côté opposé.

  1. Il y a 3 médianes dans un triangle.
  2. Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection est le centre de gravité du triangle.
  3. Le centre de gravité d’un triangle est situé au 2/3 de la longueur de chaque médiane à partir du sommet dont elle est issue.

 

Les hauteurs : on appelle hauteur d’un triangle toute droite ( ou segment de celle-ci intérieur au triangle) passant par un des sommets de ce triangle et perpendiculaire au côté opposé.

  1. Il y a 3 hauteurs dans un triangle ;
  2. Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes et leur point d’intersection s’appelle l’orthocentre.
  3. Dans un triangle acutangle, l’orthocentre est à l’intérieur du triangle.
  4. Dans un triangle obtusangle, l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
  5. Dans un triangle rectangle, l’orthocentre est le sommet de l’angle droit.

 

Quadrilatères convexes

 

Un quadrilatère est un polygone ayant 4 côtés, 4 sommets, 4 angles intérieurs.

Quadrilatère convexe : quadrilatère tel que tous les segments dont les extrémités appartiennent à ce quadrilatère sont entièrement à l’intérieur de ce quadrilatère.

La somme des angles intérieurs vaut 4 angles droits ou 360°.

Deux côtés sont opposés s’ils n’ont pas de sommet commun ; deux côtés sont adjacents s’ils ont un seul sommet commun.

Une diagonale d’un quadrilatère joint deux sommets opposés, une médiane d’un quadrilatère joint les milieux de côtés opposés.

Définitions ne conviennent qu’aux quadrilatères convexes.

 

Trapèze : quadrilatère (convexe) admettant (au moins) deux côtés parallèles.

Trapèze isocèle : trapèze possédant une médiane axe de symétrie (ou trapèze possédant 2 angles consécutifs de même amplitude).

Trapèze rectangle : trapèze possédant (au moins) un angle droit

Parallélogramme : quadrilatère admettant deux paires de côtés parallèles.

Losange : quadrilatère dont les 4 côtés ont même longueur.

Rectangle : quadrilatère possédant 4 angles droits (ou parallélogramme ayant un angle droit).

Carré : quadrilatère possédant 4 angles droits et 4 côtés égaux ou rectangle ayant 4 côtés égaux.

 

Diagonales des quadrilatères 

Définition générale : segment joignant deux sommets non consécutifs d’un polygone.

Définition particulière : segment joignant deux sommets opposés d’un quadrilatère.

Critères de classement : isométrie, se coupent en leur milieu, perpendicularité (coupées en 2 paires de segments égaux).

Médianes des quadrilatères : segment joignant deux milieux de côtés opposés.

Propriété : les médianes d’un quadrilatère se coupent toujours en leur milieu.

Critères de classement : // aux côtés, perpendiculaires, isométriques.

 

Quadrilatères et symétries

Symétrie par rapport à une droite (ou symétrie axiale)

Soit une droite D et un point p. Le point p’ est l’image de p par la symétrie d’axe D ssi D est la médiatrice du segment [pp’].

Symétrie par rapport à un point (ou symétrie centrale)

Une symétrie centrale correspond à une rotation d’un demi-tour (ou 180°) autour d’un point o.

Le point o est appelé centre de la symétrie.

Propriétés des quadrilatères convexes

Somme des angles : la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère convexe vaut 360°.

Ceci s’obtient en juxtaposant les angles déchirés ou des gabarits.

Propriétés du parallélogramme

Si un un quadrilatère est un parallélogramme (2 paires de côtés parallèles), alors

-         ses côtés opposés ont même longueur

-         ses angles opposés ont même amplitude

-         il possède un centre de symétrie

-         ses diagonales se coupent en leur milieu

 

 

Réciproques

-         si un quadrilatère convexe a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme

-         si un quadrilatère convexe a ses angles opposés de même amplitude, alors c’est un parallélogramme.

-         Si un quadrilatère convexe possède un centre de symétrie, alors c’est un parallélogramme.

-         Si les diagonales d’un quadrilatère convexe se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

 

Propriétés du rectangle

Si un quadrilatère est un rectangle (parallélogramme dont les 4 angles sont droits), alors

-         il possède toutes les propriétés du parallélogramme

-         ses diagonales ont même longueur

-         il possède deux axes de symétrie : les médianes

-         ses médianes sont perpendiculaires

Réciproques

-         si un parallélogramme possède 2 diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle

-         si un parallélogramme possède 2 axes de symétrie, alors c’est un rectangle

-         si un parallélogramme possède 2 angle consécutifs de même amplitude, alors c’est un rectangle

Propriétés du losange

Si un quadrilatère est un losange (4 côtés de même longueur), alors

-         il possède toutes les propriétés du parallélogramme

-         ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu

-         ses médianes ont même longueur et se coupent en leur milieu

-         il possède deux axes de symétrie : les diagonales

Réciproques

-         Si un parallélogramme possède 2 diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange

-         Si un parallélogramme possède 2 médianes de même longueur, alors c’est un losange

 

Propriétés du carré

Si un quadrilatère est un carré, alors

-         il possède toutes les propriétés du rectangle

-         il possède toutes les propriétés du losange

-         il possède 4 axes de symétrie : les médianes et les diagonales

-         il possède un centre de symétrie

-         c’est un quadrilatère régulier.

Réciproques :

Si un rectangle possède des diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré

Si un losange possède des médianes perpendiculaires, alors c’est un carré.

 

 

 

  

 

 

 

 

Ajouter un commentaire
Informations du site
Le nom du site CharlesBuls.be n'a pas de lien direct avec l'ancien nom de la catégorie pédagogique
Charlesbuls.be et le système éditorial e-NewSeur concept, design et réalisation ZooReauDing ©2006
Code source disponible sur demande
E-mail : aide@charlesbuls.be